我们都知道以下两个结论：

(资料图)

①0的任何正数次幂都等于0：0^x=0，x＞0

②任何非0实数的0次幂都等于1：x^0=1，x≠0

今天我们来讨论一个争论已久的问题，0的0次幂到底等于多少？

0^0=?

从表面上来看，如果0^0=0，就会与x^0=1矛盾；如果0^0=1，就会与0^x=0矛盾。看上去无论将0^0定义成0还是1，都不是很恰当。

于是有人提出0^0就和分母为0一样，是无意义的。理由如下：

0^0=0^(1-1)=0^1/0^1=0/0

此时会出现分母为0，所以0^0无意义。

看上去似乎有些道理，但这样的解释显然不能让人信服，我们完全可以类似地来理解0^1。

0^1=0^(2-1)=0^2/0^1=0/0

按照之前的解释，同样会出现分母为0，那么0^1也是无意义的，这与我们公认的0^1=0显然是矛盾的。

我们必须转换思路。我们很容易想到利用极限来理解这个问题，0^0可以看作函数f(x)=x^x，当x趋于0+的极限值。我们先用计算器来算一下：

0.1^0.1=0.794……

0.01^0.01=0.954……

0.001^0.001=0.993……

0.0001^0.0001=0.999……

…………

可以明显感觉到，当x→0+时，x^x→1。其实这个结论是可以严格证明的。

求证：lim(x^x)=1，x→0+

证明：

lim[ln(x^x)]=lim[x×ln(x)]=lim[ln(x)/(1/x)]，x→0+

当x→0+时，ln(x)→-∞，1/x→+∞

此极限为"-∞/+∞"型的未定式，根据洛必达法则

lim[ln(x^x)]=lim[ln(x)/(1/x)]=lim[ln′(x)/(1/x)′]，x→0+

=lim[(1/x)/(-1/x^2)]=lim(-x)，x→0+

=-0=0=ln1，x→0+

lim[ln(x^x)]=ln1=0，x→0+

lim(x^x)=1，x→0+

证毕！

到这里，问题似乎得到了圆满的解决，0^0=1，而且计算器也是这样显示的。

我们再深入来思考一下这个问题，如果0^0=1，那么对于0^x：

①当x＞0时，0^x=0；

②当x=0时，0^x=1；

③当x＜0时，-x＞0，0^x=0^[-(-x)]=1/0^(-x)=1/0=∞

这一切看上去非常丝滑，就连欧拉也认可其合理性，欧拉称这个变化为一次巨大的跳跃。

但另一位大神柯西却不认同这种观点，柯西认为如果你能够构造极限lim(x^x)=1，x→0+，来说明0^0=1。那么，我同样可以构造另一个极限：lim[e^(-1/x^2)]^x，x→0+

首先，当x→0+时，

e^(-1/x^2)→e^(-1/0)→e^(-∞)→1/e^(+∞)→1/(+∞)→0

这个极限仍然是“0^0”型，接下来我们来求一下这个极限值：

求极限：lim[e^(-1/x^2)]^x，x→0+

解：

ln{[e^(-1/x^2)]^x}=x×ln[e^(-1/x^2)]=x×(-1/x^2)×ln(e)=(-1/x)×1=-1/x

lim<ln{[e^(-1/x^2)]^x}>=lim(-1/x)=-∞，x→0+

lim[ln(0+)]=-∞

lim<ln{[e^(-1/x^2)]^x}>=lim[ln(0+)]=-∞

lim[e^(-1/x^2)]^x=0，x→0+

我们求得了，对于以上“0^0”型求极限，极限值为0。也就是说，0^0=0。

类似地，我们还可以再构造极限：lim[e^(-1/x^2)]^(-x)，x→0+。显然，这个极限仍然是“0^0”型。

求极限：lim[e^(-1/x^2)]^(-x)，x→0+

解：前面我们已经证明了

lim[e^(-1/x^2)]^x=0，x→0+

lim[e^(-1/x^2)]^(-x)=lim{1/[e^(-1/x^2)]^x}=1/0=∞，x→0+

lim[e^(-1/x^2)]^(-x)=∞，x→0+

我们又求得了，对于以上“0^0”型求极限，极限为∞。也就是说，0^0=∞。

同样是“0^0”型求极限，我们得出了3个不同的极限值，分别是1，0和∞。这时，人们才意识到“0^0”型是一个未定式，其极限值具体是多少要分情况来看。

所谓未定式是指，极限值不确定的形式。未定式的极限值有可能存在，也有可能不存在；如果未定式的极限值存在，也有可能不唯一。

未定式一共有7种类型，分别为：

∞-∞型、0×∞型、∞/∞型、0/0型、1^∞型、∞^0型以及0^0型。

到这里，我们终于可以回答这个问题了，0^0到底等于几，要分具体情况来看。不同的情况下，对应不同的取值。0^0有可能等于1，也有可能等于0或其他值，还有可能是不存在的。

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